2008年1月のアーカイブ

普段、我々が使用するサイコロは1〜6の目を持つ立方体である。

これを3次元サイコロとする。

おなじみ3次元サイコロの展開図を以下に示す。

立方体を3次元以外のものに拡張したものを超立方体というそうだ。3次元以外の超立方体でサイコロを考えてみよう。

超立方体の特徴

Wikipediaの記事によれば、超立方体の特徴は以下のようになる。

n次元超立方体の

• 頂点の数：2ⁿ
• 辺の数：n・2^n-1
• 面の数：_nC₂・2^n-2
• 胞（立方体）の数：_nC₃・2^n-3
• k次元胞の数：_nC_k・2^n-k

1辺の長さがLの場合

• 体積：Lⁿ
• 表面積：2nL^n-1
• 対角線の長さ：L√n

また、3次元サイコロを分析すると以下の特徴がある。

• 目は面に対応する
• 目の数をnとして、ある目xは(n+1)-xの目以外の目に接する

こうした特性を鑑み、3次元以外のサイコロを考えてみた。

4次元サイコロ

4次元サイコロは以下のようになる。

4次元超立方体の

• 頂点の数：16
• 辺の数：32
• 面の数：24
• 胞（立方体）の数：8

1辺の長さがLの場合

• 体積：L⁴
• 表面積：8L³
• 対角線の長さ：2L

4次元超立方体の体積・表面積・対角線の長さってどこを測るのかよくわからんが、こんな感じか。

• 体積: 普通イメージする3次元の量でなく4次元の量。たとえば辺の長さLの単位がmならこの体積の単位はm⁴のはず。
• 表面積: 構成する立方体の体積の総和。
• 対角線の長さ: わからん。その物体内で取りうる最も長い線分の長さ、ということか。もはやイメージ不能だ。

サイコロとしての特徴は以下の通り

• 目は胞（立方体）に対応する。上記の通りその数は8
• ある目xは9-xの目以外の目に接する

こうして考えられる4次元サイコロだが、4次元のものを2次元で描くのは私の技量を超えるので、その展開図（3次元になる）の俯瞰図を示す。

なお、下図のように方向を名付けると、上図における各々の目は以下のように接することとなる。

目	上	下	東	西	南	北
1	3	6	5	4	2	7
2	3	6	5	4	8	1
3	8	1	5	4	2	7
4	3	6	1	8	2	7
5	3	6	8	1	2	7
6	1	8	5	4	2	7
7	3	6	5	4	1	8
8	6	3	4	5	7	2

同様に考えれば5次元以上のサイコロも想定できるが、図示するのも大変なので省略。

2次元サイコロ

2次元サイコロは以下のようになる

2次元超立方体の

• 頂点の数：4
• 辺の数：4
• 面の数：1

1辺の長さがLの場合

• 体積：L²
• 表面積：4L
• 対角線の長さ：L√2

ようは正方形ですな。

• 体積: 面積
• 表面積: 構成する辺の長さの総和、と考えるべし。

サイコロとしての特徴は以下の通り

• 目は辺に対応する。上記の通りその数は4
• ある目xは5-xの目以外の目に接する

以下が2次元サイコロの例。

なお、3次元空間中で使用する場合は、ちょっと工夫が必要。

1次元サイコロ

1次元サイコロは以下のようになる

1次元超立方体の

• 頂点の数：2
• 辺の数：1

1辺の長さがLの場合

• 体積：L
• 表面積：2
• 対角線の長さ：L

物体としては長さLの線分・・・なのかな。

うん？体積→長さ、として「表面積2」ってなんだ。

この場合、長さの1次元下の量だから、たとえばLの単位がmとしたらm⁰になって、もうなにがなにやら。

いや、0次元=点の量なんだから、この場合構成する頂点の数になるわけか。うーむ。

対角線の長さLは当然。

サイコロとしての特徴は以下の通り

• 目は頂点に対応する。上記の通りその数は2
• ある目xは3-xの目以外の目に接する（そんな目はない）

以下が1次元サイコロの例。

これも、3次元空間中で使用する場合は、ちょっと工夫が必要。

たとえば、こんな風に作る。

いや、コイン使えよって話ですが。

0次元サイコロ

一応当てはめてみる。

0次元超立方体の

• 頂点の数：1

1辺の長さがLの場合

• 体積：1
• 表面積：0
• 対角線の長さ：0

点です。0次元なのでそれしかありえない。

体積＝点の量なので、頂点と一致。

表面積は-1次元を想定しないといけないので、イメージ不能。

対角線の長さ0は納得。

サイコロとしての特徴は以下の通り

• 目は何に対応するか不明。
• ある目xは2-xの目以外の目に接する（そんな目はない）

目は-1次元のものに対応するわけだが、想定不能。

まあ点なので、目は1つと考えよう（てきとー）。

以下が0次元サイコロの例。

大きさのない点では描きようがないので、球です。

もちろん、いくら転がしても1しか出ません。

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なお、今回_nC_kでn<kの場合、解なしとした。高校数学しか知らないのでわからん。あと、小数次元も考えていない。負の次元を想定するのかも不明。

いま、NHK-BS1の「BS世界のドキュメンタリー」で、フランスの大富豪アルベール・カーン氏を取り上げている。

• 参考：http://www.nhk.or.jp/wdoc/backnumber/detail/080106a.html

カーン氏は、証券取引で儲けた資金で、カメラマンを世界中に派遣し、72000枚のカラー写真と4000枚のモノクロ写真、100時間に及ぶビデオ映像を残したそうだ。19世紀末から20世紀初頭の話である。

彼は、当時実用化したばかりのカラー写真とビデオで、世界中の、それも主に庶民の文化・生活を記録し、市民に広く知らしめることで、他（多）文化への理解を深めさせ、国際協調を目指したのだ。うーむ、金持ちはこういう金の使い方をしてほしいものだ。

現代の我々が見る過去の映像というのは、ある時点からはモノクロ写真が中心となり、さらに古くなると、絵でしか見ることができない。それらはもちろん、当時の生活をかいま見る貴重な資料だが、自分たちの世界からは隔絶しているようにも感じる。

このドキュメンタリー（の第1回）で、初めて見た100年前のカラー写真は、鮮やかで、そして身近に感じた。いま、我々が生きているこの世界と確かにつながっているのだ、と。

また、上記のような理由で撮られた映像なので、映画やニュース、芸術目的の写真とは異なり、人々の生活が自然に記録されている。これも、この人たちは確かに生きていたのだと思える要因の一つかもしれない。

さらに、そんなこととは関係なく、このカラー写真たちは美しい。被写体も良いが、カメラマンも巧い。そして、当時のカラーフィルムの特性だろうか、灰色がかっているのに、ものすごく鮮やかな色が出ている。懐古趣味でなく、本当に美しい。

このカーン・コレクション。ドキュメンタリーでは長らく人の目に触れなかったと言われてたけど、今はどこかで見られるのだろうか。デジタル化して、ネットで見られるようになれば、カーン氏の思想を体現することにもなると思うのだがどうか。単に私の希望でもあるけど。

あけましておめでとうございます。

今年もゆるゆる生きてゆきます。

FC2のWebサービスとブログサービスを使わしてもらってますが、１ファイルあたりの容量制限が250KBなので、音楽配信は無理と判断。容量制限5MBのSeesaaブログに、音楽配信用のブログを開設しました。

• 「日曜音楽」
  http://labocho.seesaa.net/

MP3アップするとFlashのプレーヤーを付けてくれたりと、なかなかいい感じです。ページの更新が遅いのと、テンプレートがちょっと垢抜けないのがちょっと残念。

たぶん、曲の配信は年数回ですが、ここで記事にするほどでもない、作曲に関するメモなんかを書く予定です。

このブログともどもよろしくお願いします。